Zinsrechnung
Die Zinsrechnung beschreibt ein mathematisches Verfahren zur
Berechnung von Zinsen, die als Entgelt auf geliehene Geldbeträge erhoben werden.
Grundsätzlich unterteilt sich die Zinsrechnung in die „Einfache Zinsrechnung“,
bei der anfallende und nicht ausgezahlte Zinsen sowie der zu verzinsende
Geldbetrag, z. B. Kredit, Darlehen oder Spareinlage, nicht aufaddiert werden und
die Zinseszinsrechnung, die nicht ausgezahlte Zinsen zum Grundbetrag aufaddiert.
Die Einfache Zinsrechnung spielt nur bei privaten Geldgeschäften ohne
Beteiligung von Finanzunternehmen eine Rolle, da nach §§248, 289 BGB in diesem
Fall Zinseszinsen untersagt sind. Finanzunternehmen wie Banken verzinsen mit
Zinseszinsen, so dass die Zinseszinsrechung von größerer Bedeutung ist.
Des Weiteren kann man nach der Anzahl der Zinsperioden (Verzinsungen) im Jahr
zwischen jährlicher (einmalige Verzinsung) und unterjähriger Verzinsung (mehrmalige
Verzinsung), sowie dem Sonderfall stetiger Verzinsung unterscheiden.
Standardfall ist die jährliche Verzinsung: das Kapital wird einmal jährlich,
üblicherweise am Jahresende, verzinst.
Wird innerhalb der Zinsperiode auf ein Sparkonto eingezahlt oder davon abgehoben,
so wird von Finanzunternehmen im Allgemeinen die gemischte Verzinsung
herangezogen. Diese Art der Verzinsung kommt deshalb auch bei allen Anlagen mit
einer Laufzeit, die nicht einem Vielfachen der Zinsperiode entspricht (zum
Beispiel 3,5 Jahre bei jährlicher Verzinsung), zur Anwendung. Man spricht
hierbei von gebrochener Laufzeit.
Während die Zinsrechnung im Allgemeinen von einem einmalig eingezahlten,
beziehungsweise geliehenen Betrag ausgeht (Anfangskapital), beschäftigt sich das
Teilgebiet der Rentenrechnung mit regelmäßigen Ein- und Auszahlungen. Für
Berechnungen über die Tilgung von Krediten existiert die Tilgungsrechnung.
Vorbemerkungen
Die im Folgenden aufgeführten Formeln für die Zinsrechnung verwenden Symbole wie
folgt:
Anfangskapital: K0 (Kapital nach 0 Jahren)
Endkapital: Kn (Kapital nach n Jahren)
Laufzeit (ganze Jahre): n Eingabe in Jahren
Laufzeit (Tage) : t Eingabe in Tagen
Zinssatz: p (pro Zinsperiode)
z. B. Jahr zu 360 Tagen n·(360/360)
Jahr zu 365 Tagen n·(365/365)
Monat n·(30/360) oder n·(1/12)
z. B. 7 % Zinssatz für die Laufzeit von einem Jahr oder 360 Tagen (bzw. 365
Tagen)
Zinssatz als Dezimalangabe:
(pro Zinsperiode)
Zinssatz als Zinsfaktor:
(pro Zinsperiode)
Jährliche Verzinsung
Einfache Zinsen (lineare/stetige Verzinsung)
Bei jährlicher Verzinsung gilt für das Endkapital
Durch Umformung erhält man Formeln zur Berechnung des für ein bestimmtes
Endkapital nötigen Startkapitals, Zinssatzes oder der Laufzeit:
Beispiel
Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 Prozent über 2 Jahre
angelegt. Bei einfacher Verzinsung ergäbe sich ein Endkapital von
[Euro]
Zinseszinsrechnung (exponentielle Verzinsung)
Die Formel für das Kapital nach n Jahren bei jährlicher Verzinsung und
Zinseszinsen lautet:
Die Formel lässt sich umstellen, um bei gegebenem Endkapital das Startkapital,
den Zinssatz oder die Laufzeit zu bestimmen:
oder
Beispiele Endwert / Endkapital
Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 % p.a. über 2 Jahre
angelegt. Mit Zinseszinsen ergibt sich ein Endkapital von
Euro.
Wird die Laufzeit gesucht, nach der sich das Startkapital verdoppelt hat, so
gilt allgemein:
Unterjährige Verzinsung
Bei unterjährig verzinslichen Anlagen erfolgt die Zinsgutschrift mehrmals im
Jahr. Der Zeitraum der Verzinsung ist also kleiner als ein Jahr.
Üblich sind beispielsweise Zeiträume von
einem halben Jahr,
einem Quartal oder
einem Monat oder
tageweise bei Restmonaten.
Die Anzahl der Zinsperioden im Jahr wird in Formeln durch das Symbol m
ausgedrückt.
Bei quartalsweiser Verzinsung wäre m zum Beispiel 4 (4 Quartale pro Jahr).
Oftmals wird ein sogenannter nomineller Jahreszinssatz (inom) angegeben.
Der relative Periodenzinssatz irel beträgt dann
Die Formeln der unterjährigen Verzinsung sind dann wie oben beschrieben zu
verwenden, der Zinssatz gilt lediglich nicht mehr pro Jahr, sondern pro
Zinsperiode. Die Laufzeit wird ebenfalls nicht in Jahren, sondern in
Zinsperioden angegeben.
Einfache Zinsen
Für das Endkapital Kt,k nach t Jahren und k Perioden (k < m) gilt:
.
Dabei stellt die Gesamtzahl von Zinsperioden nach t Jahren und k Perioden dar (Laufzeit,
angegeben in Zinsperioden).
Beispiel
Ein Kapital von 1.000 € wird bei monatlicher Verzinsung (m = 12) zu einem
nominellen Jahreszinssatz von 6 Prozent angelegt.
Der relative Periodenzinssatz beträgt 0,5 %. Nach 2 Jahren und 4 Monaten ergibt
sich mit einfachen Zinsen ein Endkapital von
[Euro]
Zinseszinsen
Für das Endkapital Kt,k nach t Jahren und k Perioden (k
< m) gilt:
.
Die Laufzeit berechnet sich also analog zur Einfachen Zinsrechnung mit .
Zusätzlich zum relativen und nominellen Zinssatz lässt sich beim Zinseszinsfall
der effektive Zinssatz ieff bestimmen. Eine jährliche Verzinsung zum
Effektivzinssatz führt dabei zum gleichen Ergebnis wie eine unterjährige
Verzinsung zum relativen Zinssatz. Es gilt:
Ist lediglich der Effektivzins gegeben, so ergibt sich der relative
Periodenzinssatz (in diesem Fall auch konformer Zinssatz ikon genannt) aus
folgender Formel:
Manche Lehrbücher (z. B.: Fischer: Finanzwirtschaft für Anfänger, Oldenbourg)
definieren den konformen Jahreszinssatz als ganzjährigen Zinssatz bei
unterjähriger Zinseszinsrechnung.
Beispiel
Ein Kapital von 1.000 € wird wie oben angelegt (m = 12; inom = 6 %, inom / 12 =
0,005).
Nach 2 Jahren und 4 Monaten beträgt das Kapital mit Zinseszinsen
[Euro]
Der effektive Zinsfuß ist 6,1678 %:
Mit dem effektiven Zinsfuß gerechnet
[Euro]
Gemischte Verzinsung
Üblicherweise schreiben Banken und andere Finanzunternehmen auf laufenden Konten
und Sparbüchern die Zinsen am Ende der Zinsperiode gut. Bei Sparbüchern und
anderen laufenden Konten ist dies meist das Ende des Jahres, bei vertraglich
festgelegten Anlagen oft ein anderer Zeitpunkt.
Obwohl eigentlich nach Zinseszinsrechnung verfahren wird, wird Kapital, das
nicht am letzten Zinsverrechnungszeitpunkt und damit auch nicht die gesamte
Zinsperiode über angelegt war, mit einfachen Zinsen verzinst, ebenso wie an
einem Auszahlungstag innerhalb der Zinsperiode die bis dahin im Jahr
angefallenen.
Die folgende Grafik stellt eine übliche Anlage dar: die Anlage fällt auf einen
beliebigen Tag des Jahres, das Kapital wird einige Jahre verzinst und
schließlich an einem beliebigen Tag innerhalb des Jahres wieder ausgezahlt.
Der gesamte Anlagezeitraum setzt sich wie folgt zusammen.
n = Restzeitraum 1 + n Jahre + Restzeitraum 2.
Zunächst wird das Kapital über den Restzeitraum 1 (t1 Tage) mit einfachen Zinsen
verzinst. Das so erhaltene Kapital verzinst sich über die n Jahre nach der
Zinseszins-Formel. Der Restzeitraum 2 (t2 Tage) wird dann wieder vom Kapital am
Ende des n-ten Jahres einfach verzinst. Zusammengefasst ergibt sich folgende
Formel für das Kapital am Auszahlungstag:
Nach der Deutschen Zinsberechnungsmethode werden für das Jahr 360 Tage angesetzt
(siehe den entsprechenden Abschnitt im Artikel Zinssatz).
Bei gebrochenen Anlagelaufzeiten ist die Wertstellungspraxis der Banken zu
beachten: Bei Sparguthaben wird in Deutschland üblicherweise der Anlagetag
mitgerechnet, der Tag der Auszahlung wird aber nicht mehr verzinst. Ansonsten –
z. B. bei Sicht- und Termineinlagen – wird umgekehrt zwar der Auszahlungstag,
nicht aber der Einzahlungstag verzinst.
Bei unterjähriger Verzinsung geht man analog vor und verändert entsprechend den
Bezugszeitraum (z. B. n in Quartalen, 90 statt 360 im Nenner).
Beispiel
Am 25. Juni 2005 werden 1.000 € zu einem Zinssatz von 2,5 % auf einem Sparbuch
angelegt. Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag bei Auflösung des Sparbuches am 12.
April 2010?
Bis zum Ende des Jahres 2005 vergehen nach Deutscher Zinsberechnungsmethode Tage.
Das Kapital liegt die gesamten Jahre 2006–2009 fest (n = 4). Im Jahr 2010 werden
noch für
Tage Zinsen gezahlt.
Das Kapital am Auszahlungstag beträgt also
[Euro]
Die Berechnung einfacher Zinsen begünstigt den Anleger: falls Zinseszinsen über
die gesamte Laufzeit berechnet würden, erhielte man im vorliegenden Fall
[Euro].
Stetige Verzinsung
Die stetige Verzinsung ist ein Sonderfall der unterjährigen Verzinsung mit
Zinseszinsen, bei der die Anzahl der Zinsperioden gegen unendlich strebt (auch
Momentanverzinsung oder kontinuierliche Verzinsung). Der Zeitraum der einzelnen
Zinsperiode geht also gegen 0.
Für das Endkapital nach n Jahren gilt bei einem Zinssatz i:
Einer der Vorteile der stetigen Verzinsung ist, dass man sich keine Gedanken
über die Zinskapitalisierung machen muss, da quasi jederzeit kapitalisiert wird.
Damit ist die stetige Verzinsung oft auch Grundlage von finanzmathematischen
Modellen, da sich diese Verzinsungsart besonders einfach handhaben lässt. Ein
bekanntes Beispiel dafür ist das Black-Scholes-Modell.